bài 3

Gọi giao điểm của EM với AC là K' ( K' \(\in\)AC )

Ta sẽ chứng minh K' \(\equiv\)K 

Thật vậy, gọi giao điểm AC và MN là O ; K'N cắt DC tại I 

dễ thấy O là trung điểm MN

do MN // EI \(\Rightarrow\frac{MO}{EC}=\frac{K'O}{K'C}=\frac{ON}{CI}\)\(\Rightarrow EC=CI\)

\(\Delta NEI\)có NC là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại N

\(\Rightarrow\)NC là đường phân giác của \(\widehat{ENI}\)

Mà \(\widehat{K'NE}+\widehat{ENI}=180^o\) có \(NM\perp NC\)nên NM là  đường phân giác \(\widehat{K'NE}\)( 1 )

mặt khác : NM là đường phân giác \(\widehat{KNE}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(K'\equiv K\)hay A,K,C thẳng hàng

Trên tia đối tia HC lấy D sao cho HD = HC

Tứ giác DECF có DH = HC ; EH = HF nên là hình bình hành

\(\Rightarrow\)DE // CF 

\(\Rightarrow\)DE \(\perp\)CH ; BE \(\perp\)DH

\(\Rightarrow\)E là trực tâm tam giác DBH \(\Rightarrow HE\perp BD\)

Xét \(\Delta DBC\)có DH = HC ; BM = MC nên MH là đường trung bình 

\(\Rightarrow\)MH // BD

\(\Rightarrow\)MH \(\perp EF\)

bài 5 :

gọi L là giao điểm của CI và NK

từ \(S_{ANI}=S_{IJK}\) \(\Rightarrow S_{ANI}+S_{AIJ}=S_{IJK}+S_{AIJ}\Rightarrow S_{NAJ}=S_{KAJ}\)

Ta nhận thấy \(\Delta NAJ\)và \(\Delta KAJ\)có chung cạnh AJ nên khoảng cách từ N và K tới AJ bằng nhau 

\(\Rightarrow NK//AJ\)

xét hình thang AJKN có C là giao điểm của AN và JK, I là giao điểm của AK và JN 

theo bổ đề hình thang, CI cắt NK tại trung điểm của NK hay L là trung điểm của NK

Suy ra khoảng cách từ N đến CI bằng khoảng cách từ K đến CI ( cái này bạn tự c/m bằng cách hạ đường cao xuống xong xét tam giác )

\(\Rightarrow S_{CIN}=S_{CIK}\) 

Mà \(S_{AIN}=S_{CKM}\)\(\Rightarrow S_{CIM}=S_{CIA}\Rightarrow AI=IM\) 

\(\Rightarrow S_{BIA}=S_{BIM}\)

\(\Leftrightarrow S_{BPJ}+S_{APJI}=S_{IJK}+S_{BJKM}\Leftrightarrow S_{APJI}=S_{BJKM}\)

tương tự : ....

xong rồi suy ra 3 tam giác bằng nhau

cho tam giác ABC vuông tại A,có ABcho tam giác ABC vuông tại A,có AB<AC.Gọi M và n lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC,BN cắt CM tại K,AK cắt Dm tại I,BN cắt DM tại E ,CM cắt DN tại F.a) chứng minh EF song song BC b) C/m K là trực tâm tam giác AEFc) tính góc BID

ĐS: chiu thúa

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, C'A'

\(\Delta A'BC'\)cân tại B có \(\widehat{A'BC'}=120^0\)\(\Rightarrow\widehat{BC'A'}=\widehat{BA'C'}=30^0\)

\(\Rightarrow\Delta BKC'\)là nửa tam giác đều

\(\Rightarrow BK=\frac{1}{2}BC'\)(1)

\(AH\perp BC\)(do \(\Delta ABC\)đều) nên \(\Delta ABH\)là nửa tam giác đều

\(\Rightarrow BH=\frac{1}{2}AB\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BK}{BC'}=\frac{BH}{AB}\)

Ta có: \(\widehat{KBH}=60^0-\widehat{ABK}=\widehat{ABC'}\)

 \(\Delta KBH\)và \(\Delta C'BA\)có: \(\frac{BK}{BC'}=\frac{BH}{BA}\left(cmt\right)\); \(\widehat{KBH}=\widehat{C'BA}\left(cmt\right)\)

 \(\Rightarrow\Delta KBH~\Delta C'BA\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{KH}{C'A}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{KH}{AB'}=\frac{1}{2}\)và \(\widehat{C'AB}=\widehat{KHB}\)

Ta có: \(\widehat{HAB'}=\widehat{B'AC'}-\left(30^0+\widehat{C'AB}\right)\)

\(=\left(\widehat{B'AC'}-30^0\right)-\widehat{C'AB}=90^0-\widehat{KHB}=\widehat{KHA}\)

Mà \(\widehat{HAB'}\)và \(\widehat{KHA}\)ở vị trí so le trong nên KH // AB'

\(\Rightarrow\frac{KG}{GB'}=\frac{GH}{GA}=\frac{KH}{AB'}=\frac{1}{2}\)

hay \(\frac{B'G}{KB'}=\frac{GA}{HA}=\frac{2}{3}\)

Điều này chứng tỏ \(\Delta ABC\)và \(\Delta A'B'C'\)có cùng trọng tâm (đpcm)

dễ quá

chị gisp em bài này